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随机矩阵理论

来自经济物理Wiki
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  • 在数理统计学中,随机矩阵是指含有至少一个元素为随机变量的矩阵。Hsu和Wishart等人最早提出了随机矩阵的概念并加以研究。


  • 随机矩阵理论(Random Matrix Theory)是1951年Eugene Wigner在对复杂原子体系的光谱进行解释时遇到了困难的背景下发展起来的。由于不同原子不同能级之间相互作用未知,因此大量原子的不同能级的光谱线虽然可测但却极度复杂,以至于无法通过已有的模型解释。在最小哈密顿量的假设条件下,给定一个完全独立并且随机的实对称矩阵,在运用这种方法之后可以对不同原子及能级之间的相互作用做出一系列具有普适性的预期,而这些预期则是所有可能的相互作用形式的平均结果。也就是说在复杂体系当中,由于系统的微观态完全随机,所以其实是可以用随机矩阵来表示系统的哈密顿量。


  • V.Plerou和H.E.Stanley在对金融市场中不同股票股价变动的横向相关性进行研究时,首次引入了随机矩阵理论的方法。当将这种方法应用到金融市场当中时,就可以很好地分析出股价变动的横向相关性,而这种相关性能够给我们展示并说明不同股票板块内部的运动。


  • 考虑一个随机矩阵R,它是由一个大小为N*L的随机矩阵A构成的,且构成A的N个行向量均服从N(0,1)
    RMT1.png
当N→∞,L→∞,Q=L/N有限且大于1时,对于随机矩阵R来说,它的特征值λ的分布函数P(λ)满足下面的形式
RMT2.png
其中
RMT3.png
Stanley等人将随机矩阵A替换为具有N只股票且每只股票包含的时间序列长度为L的收益率矩阵M。通过对M归一化,再做转置,得到的R矩阵实际上是一个皮尔逊相关系数矩阵C。通过对C矩阵的特征值分布函数的分析,他们发现真实金融市场的相关性信息大部分都落在随机区域内,只有少部分特征值落在λmin与λmax之外。
  • 利用随机矩阵理论的方法分析股票收益相关矩阵,利用与完全随机矩阵的对比差异,可以将真实市场中很多信息反映出来。
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