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对数周期性幂律模型

来自经济物理Wiki
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Sornette独立地提出可以将本来常用于研究地震数据的对数周期幂律(Log-Periodic Power Law,LPPL)模型,应用到对金融市场中泡沫行为的分析当中。他认为由泡沫产生并最终破裂的金融市场与地震系统具有很多相似之处,两者都可以认为是复杂性系统。具体地,LPPL模型的前提是假设金融市场当中的交易者只是能够在局域范围内彼此影响,并且大多数交易者的行为都属于“跟风”(herd behaviors),交易者彼此之间要么相互“模仿”(imitate)要么完全采用其最邻近交易者的决策,而只有少数的交易者是独立决策的。由于跟风行为的存在,大多数交易者在同一时刻给出相同的市场订单,这样群体性行为不可避免地导致市场中资金流动的周期性变化,反映到资产价格也成周期性变化的规律。但同时金融泡沫也越积越大,直至破裂。临界状态理论认为,泡沫虽然不断被“吹大”,但是仍然不可能确切地知道到当泡沫有多大的时候才会破裂,也不可能清楚地知道泡沫破裂的时间,否则如果泡沫破裂的所有信息都能够被交易者知道并且成功做出应对的交易决策的话,那么有效市场假说就显然不成立了。LPPL模型可以估计和预测出将来某时泡沫破裂的风险概率,投资者可以据此进行规避风险、应对泡沫,以减少损失或者获取收益。Johansen和Zhou等人通过研究发现历史上几次金融危机以及西方金融市场的泡沫(bubble)与反泡沫(anti-bubble)现象,都可以通过这个模型做出很好的预测,同时也从侧面反映出金融市场具有了复杂性系统的一般特性。Zhou和Sornette曾对中国股市及房地产的泡沫行为做出了预测,他利用2003年之前的数据预测中国房地产泡沫将一直持续到2008年。

对数周期性是复杂性系统离散标度不变性(Discrete Scale Invariance, DSI)的一个显著信号规律。理论上,一个系统的临界点附近往往会出现标度不变性的规律,尽管这种现象对于系统的临界点来说并不是必要的特性,但是仍然可以通过对标度不变性规律的分析来观察系统临界点的行为。对于某个形式为O(x)的变量,它的DSI特性体现在:当自变量x变为原来的λ倍之后,O(x)变量的形式保持不变,即 O(x)=μ(λ)O(λx)。这中不变性其实来源于O(x)变量的幂律形式,这与分形及多重分形的规律是一致的。为了体现出放大因子λ的周期性规律,O(x)变量可以如下形式:
对数周期性幂律模型1.png

其中P(…)是任意一种具有周期性的函数。因此,可以将这种周期性函数用Fourier级数展开,级数形式为:
对数周期性幂律模型2.png

将级数展开式代入到O(x)式中,得到一阶形式为:
对数周期性幂律模型3.png

其中I(t)是金融市场的价格时间序列,可以是原始价格序列也可以是对数价格序列,I(t)=P(t)或者I(t)=lnP(t),两者最后得到的拟合结果相差无几,但一般使用的是对数价格序列。τ是与临界点的时间间隔,τ=t_c-t对应的是泡沫曲线,τ=t-t_c则对应的是反泡沫曲线,而t_c对应的就是临界点。为了使临界点出的泡沫破裂风险发散,并且使价格有限,0<α<1。有时为了能够更加精细地拟合,还会加上二阶项:
对数周期性幂律模型4.png

对数周期性幂律模型是经济物理学家们从对经济泡沫现象的观察中,发展出来的一个比较成功的模型,目前已经被很多家金融机构采用。对于金融市场中泡沫趋势的分析并做出预测,本来就是一件比较困难的事情,经济学家往往在即将邻近泡沫破裂的时候才会做出预测。而Sornette从地震研究中类比,并且深入剖析金融市场中泡沫的形成规律,提出了LPPL模型,并能预测出临界时间点。但是,金融市场作为复杂性系统,虽然具有临界点附近的标度不变性,但是在实际发展过程中,人们如何利用模型规避风险,尽量减小泡沫破裂导致的损失则仍是很多人需要认真考虑的事情。

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