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复高斯分布

来自经济物理Wiki
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复高斯分布 complex normal distribution 在概率论中,复高斯分布被用来描述复合随机变量(实部和虚部是联合正态分布的随机变量)。复高斯分布包含三个参数:位置参数μ,协方差矩阵Γ,相关矩阵C。标准复高斯分布是带有以下参数的一元分布,μ = 0, Γ = 1, C = 0. 复高斯分布族的一个重要子集是圆对称复高斯分布,对应的参数是 μ = 0, C = 0.圆对称复高斯分布(circular symmetric complex normal)主要用在信号处理领域,在信号处理的相关教材中也被简称为复高斯分布。

  1. 复高斯分布的定义
    • 假设XY是k维实空间的随机向量,向量vec[X Y]是2k维正态随机向量。那么复随机向量
      Complex normal distribution1.png
      具有复高斯分布。复高斯分布可用以下三个参数来描述:
      Complex normal distribution2.png
      Z11.png表示矩阵转置,0.05px表示复共轭。位置参数μ可以是任意k维的复矢量,协方差矩阵Γ必须是厄米的和非负定的,相关矩阵C是对称的。进一步,矩阵Γ和矩阵C所组成的
      Complex normal distribution3.png
      也是非负定的。
      矩阵Γ和矩阵C可用XY的协方差矩阵表示。
      Complex normal distribution4.png
      反过来,
      Complex normal distribution5.png
  2. 复高斯分布的概率密度函数
    • 复高斯分布的概率密度函数公式如下,
      Complex normal distribution6.png
      Formula1.png
  3. 复高斯分布的特征函数
    • 复高斯分布的特征函数如下,
      Complex normal distribution7.png
      ω是k维复矢量。
  4. 复高斯分布的性质
  5. 圆对称复高斯分布
    • 圆对称复高斯分布对应的参数为μ = 0, C = 0。若Z = X + iY是圆对称复高斯分布,则vec[X Y]是具有如下协方差结构的多元正态矢量。
      Complex normal distribution11.png
      其中Formula3.png
      通常写做Complex normal distribution12.png
      分布也可简化为
      Complex normal distribution13.png
      标准复正态分布对应着μ = 0, Γ = 1, C = 0的纯量随机变量的分布。因此,标准复正态分布的概率密度为Complex normal distribution14.png
      这也解释了μ = 0, C = 0时被称为圆对称的原因。概率密度函数仅依赖于z的量级,不依赖于它的具体参数。标准复正态分布随机变量的量级|z|符合瑞利分布,
      |z|的平方量级符合指数分布,具体参数在[-π,π]均匀分布。
      Formula2.png独立同分布independent and identically distributed or i.i.d.的k维圆对称复正态随机变量μ = 0,则随机变量的平方形式
      Complex normal distribution15.png具有广义卡方分布形式。随机矩阵Complex normal distribution16.png是具有n个自由度的复Wishart分布。

作者:王明智

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